Question

在直角坐标系xoy中，点P到两点（0，-），（0，）的距离之和等于4，设点P的轨迹为曲线C，直线y=kx+1与曲线C交于A、B两点．
（I）写出曲线C的方程．
（II）当∠AOB是锐角时，求k的取值范围．

Answer

（Ⅰ）直接由椭圆的定义可得曲线C的方程；
（Ⅱ）设出直线y=kx+1与曲线C的两个交点的坐标A（x1，y1），B（x2，y2），把直线方程和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程，由根与系数关系得到两个交点的横坐标的和与积，由∠AOB是锐角，得到x1x2+y1y2＞0，转化为只含横坐标的表达式后代入根与系数关系，整理后即可求得k的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）由椭圆的定义可知，点P的轨迹是以为焦点，长半轴为2的椭圆．
它的短半轴，故曲线C的方程为：；
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足．
消去y得，（k2+4）x2+2kx-3=0．
△=4k2-4（k2+4）（-3）=16k2+48＞0，
．
若∠AOB是锐角，则，即x1x2+y1y2＞0，
而=．
于是．
所以．