Question

如图，在正四棱锥S-ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论中恒成立的个数为（ ）
（1）EP⊥AC； 
（2）EP∥BD；
（3）EP∥面SBD；
（4）EP⊥面SAC．

A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

Answer

如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN．
（1）由正四棱锥S-ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，进而得到SO⊥AC．
可得AC⊥平面SBD．由已知E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，利用三角形的中位线可得EM∥BD，MN∥SD，于是平面EMN∥平面SBD，进而得到AC⊥平面EMN，AC⊥EP．
（2）由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线，因此不可能EP∥BD；
（3）由（1）可知：平面EMN∥平面SBD，可得EP∥平面SBD；
（4）由（1）同理可得：EM⊥平面SAC，可用反证法证明：当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直．
【解析】
如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN．
（1）由正四棱锥S-ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，∴SO⊥AC．
∵SO∩BD=O，∴AC⊥平面SBD，
∵E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，∴EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN=N，
∴平面EMN∥平面SBD，∴AC⊥平面EMN，∴AC⊥EP．故正确．
（2）由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线，不可能EP∥BD，因此不正确；
（3）由（1）可知：平面EMN∥平面SBD，∴EP∥平面SBD，因此正确．
（4）由（1）同理可得：EM⊥平面SAC，若EP⊥平面SAC，则EP∥EM，与EP∩EM=E相矛盾，因此当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直．即不正确．
综上可知：只有（1）（3）正确．即四个结论中恒成立的个数是2．
故选B．