Question

已知正方形ABCD的边长为1，沿对角线AC把△ACD折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为    ．

Answer

先作出直线BD与面ABC所成角，计算三棱锥的体积，求出其最大值，可得△BOD是等腰Rt△，从而可得结论．
【解析】
如图所示，O为正方形ABCD的中心，
∵BO⊥AC，DO⊥AC，
∴AC⊥面BOD，
∵AC⊂面ABC，∴面BOD⊥面ABC
∴BD在面ABC的射影是BO，∠BDO=φ是直线BD与面ABC所成角．
设∠BOD=θ（0°＜θ＜180°），正方形ABCD的边长为1，则BO=DO=
∴△BOD的面积=BO×DO×sinθ=sinθ．
∴三棱锥体积=S△BOD×AC=sinθ≤，
∴θ=90°时，三棱锥体积最大，此时△BOD是等腰Rt△，
∴φ=45°，即当A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时候，直线BD与面ABC所成角为45°．
故答案为．