Question

已知函数f（x）=x²+ax+a+1（a∈R）．
（Ⅰ）当a=5时，解不等式：f（x）＜0；
（Ⅱ）若不等式f（x）＞0对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）当a=5时，不等式即 x2+5x+6＜0，解此一元二次不等式求得不等式的解集．
（Ⅱ）由f（x）=x2+ax+a+1＞0的解集为R，可得△=a2-4（a+1）＜0，解此不等式求得实数a的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）当a=5时，不等式即 f（x）=x2+5x+6＜0，
解得-3＜x＜-2，所以，不等式的解集为（-3，-2）．--------（7分）
（Ⅱ）f（x）=x2+ax+a+1＞0的解集为R，
则有△=a2-4（a+1）＜0，-------（10分）
解得 ，即实数a的取值范围为（-2+2，2+2）．--------（14分）