Question

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点O是BD中点．
（Ⅰ） 求证：平面BDD₁B₁⊥平面C₁OC；
（Ⅱ） 求二面角C₁-BD-C的正切值．

Answer

（Ⅰ）利用线面垂直的判定定理证明线面垂直，再利用面面垂直的判定定理证明平面BDD1B1⊥平面C1OC；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知∠C1OC是二面角C1-BD-C的平面角，在Rt△C1OC中，求二面角C1-BD-C的正切值．
（Ⅰ）证明：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O是BD中点，
∵BC1=DC1，BC=DC，
∴C1O⊥BD，CO⊥BD-------------------（2分）
∵C1O∩CO=O，C1O⊂平面C1OC，CO⊂平面C1OC，
∴BD⊥平面C1OC------------------（5分）
∵BD⊂平面BDD1B1，∴平面BDD1B1⊥平面C1OC．--------------（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知∠C1OC是二面角C1-BD-C的平面角---------------（11分）
则
∴在Rt△C1OC中，
故二面角C1-BD-C的正切值为．---------------（14分）