Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*）．
（Ⅰ）求证：数列{a_n+1}为等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{c_n}的通项公式为c_n=2n，求数列{a_n•c_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ）若数列{b_n}满足，且b₂=4．证明：数列{b_n}是等差数列，并求出其通项公式．

Answer

（Ⅰ）在an+1=2an+1两边同时加上1，构造出an+1+1=2（an+1），易证明数列{an+1}为等比数列．
（Ⅱ）结合分组法求和及错位相消法求和计算．
（Ⅲ）由已知可得出bn+2-2bn+1+bn=0，继而{bn}是等差数列，通项公式易求．
【解析】
（Ⅰ）∵an+1=2an+1（n∈N*）．an+1+1=2（an+1），----------（3分）
{an+1}是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列．∴．
即．--------------（4分）
（II）∵，cn=2n，∴
∴Sn=a1c1+a2c2+a3c3+…+ancn=2[（1×2+2×22+3×23+…+n×2n）-（1+2+3+…+n）]-----（6分）
设  A=1×2+2×22+3×23+…+n×2n①
则2A=1×22+2×23+…+（n-1）×2n+n×2n+1②
①-②得-A=1×2+1×22+1×23+…+1×2n-n×2n+1==（1-n）×2n+1-2
∴A=（n-1）×2n+1+2
∴--------------（9分）
（Ⅲ）∵，∴，
∴2[（b1+b2+…+bn）-n]=nbn，①2[（b1+b2+…+bn+bn+1）-（n+1）]=（n+1）bn+1． ②
②-①，得2（bn+1-1）=（n+1）bn+1-nbn，--------------（11分）
即（n-1）bn+1-nbn+2=0，③nbn+2-（n+1）bn+1+2=0．                    ④
④-③，得nbn+2-2nbn+1+nbn=0，
即bn+2-2bn+1+bn=0，∴，∴{bn}是等差数列．--------------（13分）
∵b1=2，b2=4，∴bn=2n．--------------（15分）
（注：没有证明数列{bn}是等差数列，直接写出bn=2n，给2分）