Question

设函数f（x）=的图象上两点P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂），若=（），且点P的横坐标为．
（1）求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个定值；
（2）求Sn=f（）+f（）+A+f（）+f（）
（3）记T_n为数列{}的前n项和，若T_n＜a（S_n+1+）对一切n∈N^*都成立，试求a的取值范围．

Answer

（1）由于点在函数图象上，同时满足=（），那么利用坐标化简得到结论．
（2）根据f （x1）+f （x2）=y1+y2=1，f （1）=2-，结合倒序相加法求解得到结论．
（3）根据已知的和式得到===，裂项求和的数学思想得到证明．
【解析】
（1）证：∵=（），
∴P是P1P2的中点⇒x1+x2=1------（2分）
∴y1+y2=f（x1）+f（x2）====1．
∴=．．-----------------------------（4分）
（2）【解析】
由（1）知x1+x2=1，f （x1）+f （x2）=y1+y2=1，f （1）=2-，
Sn=f（）+f（）+…+f（）+f（），
Sn=f（）+f（）+…+f（）+f（），
相加得 2Sn=f（1）+[f（）+f（）]+[f（）+f（）]+…+[f（）+f（）]+f（1），
=2f（1）+n-1=n+3-2
∴．------------（8分）
（3）【解析】
===，
--------------------（10分）
⇔a=
∵≥8，当且仅当n=4时，取“=”
∴=，因此，a-------------------（12分）