Question

如图，CB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，AP与CB的延长线交于点P，A为切点．若PA=10，PB=5，∠BAC的平分线AE与BC和⊙O分别交于点D、E，则AD•DE的值为（ ）

A．50
B．
C．96
D．100

Answer

先根据∠PAB=∠ACP以及∠P公用，得到△PAB∽△PCA，进而求出 =，再根据切割线定理得到PA2=PB•PC；结合前面求出的结论以及角平分线定理求出CD，DB．再结合条件得到△CDE∽△ADB，进而求出结果．
【解析】
连接CE，∵PA为⊙O的切线，
∴∠PAB=∠ACP，…（1分）
又∠P公用，∴△PAB∽△PCA．…（2分）
∴=，…（3分）
∵PA为⊙O的切线，PBC是过点O的割线，
∴PA2=PB•PC．…（5分）
又∵PA=10，PB=5，∴PC=20，BC=15．…（6分）
又知，=，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠CAB=90°．
∴AC2+AB2=BC2=225，
∴AC=6 ，AB=3 ，CD=10，DB=5…（7分）
连接CE，则∠ABC=∠E，…（8分）
又∠CDE=∠ADB，
∴△CDE∽△ADB，
∴…（9分）
∴AD•DE=DB•CD=5×10=50．…（10分）
故选A．