Question

有如下命题：
①若0＜a＜1，对任意x＜0，则a^x＞1；
②若函数y=log_a（x-1）+1的图象过定点P（m，n），则log_mn=0；
③函数y=x^-1的单调递减区间为（-∞，0）∪（0，+∞），
④函数y=2^x与y=log₂x互为反函数，
其中正确命题的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer

根据指数函数的单调性判断出①正确；根据对数函数的真数为1，不论底数为多少对数总为0，判断出②正确；结合函数y=x-1的图象判断出③不正确；据反函数的定义，判断出④正确；
【解析】
对于①，由指数函数的单调性知，当0＜a＜1，对∀x＜0，有ax＞1，故①正确；
对于②，函数y=loga（x-1）+1的图象恒过（2，1），所以m=2，n=1，所以logmn=0，故②正确；
对于③，函数y=x-1的单调递减区间为（-∞，0）和（0，+∞），故③不正确；
对于④，因为函数y=2x与y=log2x互为反函数，故④正确；
所以真命题的个数为3个；
故选C．