Question

设f（-x）=2^-x+a•2^x（a是常数）．
（1）求f（x）的表达式；
（2）如果f（x）是偶函数，求a的值；
（3）当f（x）是偶函数时，讨论函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性，并加以证明．

Answer

（1）令t=-x，则x=-t，代入解析式换元即可求出外层函数的解析式；
（2）f （x）是偶函数，则可得到方程f （-x）=f （x）由此解方程即可求a，求解时要注意恒成立怎么转化．
（3）由（2）得到的解析式进行讨论，设0＜x1＜x2，研究f（x2）-f（x1）差的符号，进而判断出其单调性，做本题时要注意做题的格式，先判断再证明．
【解析】
（1）令t=-x，则x=-t，于是
∴
（2）∵f （x）是偶函数，∴对任意x∈R恒成立
即对任意x∈R恒成立，
∴a-1=0，即a=1
（3）由（2）知a=1，，设0＜x1＜x2，则
∵x1＜x2，且y=2x是增函数，∴，即
∵0＜x1＜x2，x1+x2＞0，∴
故
∴f（x2）-f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1）
∴当x∈（0，+∞）时，f （x）是增函数．