Question

已知数列{a_n}满足a_n+1-2a_n=0且a₃+2是a₂，a₄的等差中项，S_n是数列{a_n}的前n项和．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=-na_n，S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，求使成立的正整数n的最小值．

Answer

（1）由于数列{an}满足an+1-2an=0，则可求出等比数列的公比，再利用a3+2是a2，a4的等差中项，列式求出首项，则等比数列的通项公式可求；
（2）由（1）可求出bn，再由数列求和的错位相减法即可求出Sn，进而可得使成立的正整数n的最小值．
【解析】
（1）∵an+1-2an=0，即an+1=2an，
∴数列{an}是以2为公比的等比数列．
∵a3+2是a2，a4的等差中项，
∴a2+a4=2a3+4，则2a1+8a1=8a1+4，即a1=2，
∴数列{an}的通项公式an=2n；
（2）由（1）bn=-n•2n，
∵Sn=b1+b2+…+bn，
∴Sn=-2-2•22-3•23-4•24-n•2n①
∴2Sn=-22-2•23-3•24-4•25-（n-1）•2n-n•2n+1②
②-①得，Sn=2+22+23+24+25++2n-n•2n+1
=-n•2n+1=（1-n）•2n+1-2
要使Sn+n•2n+1＞50成立，只需2n+1-2＞50成立，即2n+1＞52，n＞5
∴使Sn+n•2n+1＞50成立的正整数n的最小值为5．