Question

已知函数f（x）=log₃，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）是f（x）图象上的两点，且x₁+x₂=1．
（1）求证：y₁+y₂为定值；
（2）若S_n=f（）+f（）+…+f（）（n∈N^*，N≥2），求S_n；
（3）在（2）的条件下，若a_n=（n∈N^*），T_n为数列{a_n}的前n项和．求T_n．

Answer

（1）先根据函数的表达式求y1+y2=log3+lo3=lo3，再结合x1+x2=1即可得出答案；
（2）由（1）知当x1+x2=1时，y1+y2=f（x1）+f（x2）=1，从而有Sn=f（）+f（）+…+f（）①再将此式倒序又得一式：Sn=f（）+…+f（）+f（）两式相加即可；
（3）当n≥2时，an=，从而利用裂项求和法即可得出Tn结果．
【解析】
（1）证明：由x1+x2=1，
y1+y2=log3+lo3=lo3=1，
（2）由（1）知当x1+x2=1时，y1+y2=f（x1）+f（x2）=1
Sn=f（）+f（）+…+f（）①
Sn=f（）+…+f（）+f（）  ②
①+②得Sn=
（3）当n≥2时，
an==
又当n=1时，a1=所以an=
故Tn=（）+（）+…+（-）=．