Question

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AD∥BC，∠BCD=90°，PA=PB，PC=PD
（1）证明平面PAB⊥平面ABCD；
（2）如果AD=1，BC=3，CD=4，且侧面PCD的面积为8，求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer

（1）取AB、CD 的中点E、F．连结PE、EF、PF，由等腰三角形三线合一可得PE⊥AB，PF⊥CD，结合三角形中位线定理及线面垂直及面面垂直的判定定理可得平面PAB⊥平面ABCD；
（2）由侧面PCD的面积为8，求出棱锥的高及底面积，代入棱锥的体积公式，可得答案．
证明：（1）取AB、CD 的中点E、F．连结PE、EF、PF，
由PA=PB、PC=PD
得PE⊥AB，PF⊥CD
∴EF为直角梯形的中位线，∠BCD=90°，
∴EF⊥CD
又PF∩EF=F
∴CD⊥平面PEF
又∵PF⊂平面PEF，得CD⊥PE
又PE⊥AB且梯形两腰AB、CD必相交
∴PE⊥平面ABCD
又由PE⊂平面PAB
∴平面PAB⊥平面ABCD
【解析】
（2）∵侧面PCD的面积S=•CD•PF=8且CD=4，
∴PF=4
又∵AD=1，BC=3，EF为直角梯形的中位线，
∴EF=（AD+BC）=2
又由PE⊥平面ABCD，故PE=2
∴四棱锥P-ABCD的体积V=•SABCD•PE=