Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=2AA₁，∠BAA₁=∠CAA₁=60°，D，E分别为AB，A₁C中点．
（1）求证：DE∥平面BB₁C₁C；
（2）求证：BB₁⊥平面A₁BC．

Answer

（1）连接AC1，由题意可得：E为A1C的中点，所以E为AC1的中点．连接BC1，可得DE∥BC1，进而根据线面平行的判定定理可得线面平行．
（2）设AA1=a，则AB=2a．根据余弦定理可得：A1B2=3a2，所以A1B2+A1A2=AB2，可得A1A⊥A1B．所以B1B⊥A1B，同理可得B1B⊥A1C，再根据线面垂直的判定定理可得线面垂直．
证明：（1）连接AC1，因为AA1C1C为平行四边形，
所以AC1与A1C互相平分．
因为E为A1C的中点，
所以E为AC1的中点．
连接BC1，因为D为AB的中点，
所以DE∥BC1．
因为BC1⊂平面BB1C1C，DE⊄平面BB1C1C，
所以DE∥平面BB1C1C．
（2）设AA1=a，则AB=2a．
因为∠BAA1=60°，
所以A1B2=A1A2+AB2-2A1A•AB•cos∠A1AB=3a2，
所以A1B2+A1A2=AB2，
所以A1A⊥A1B．
因为B1B∥A1A，所以B1B⊥A1B．
同理B1B⊥A1C，
因为A1B∩A1C=A1，
所以BB1⊥平面A1BC．