Question

在如图所示的空间直角坐标系中，AB=AD=2，AC=4，E，F分别是AD，BD的中点．
（1）求直线CD与平面CEF所成角的正弦值；
（2）设点M在平面ABC内，满足DM⊥平面CEF，试求出点M的坐标．

Answer

（1）求出面CEF的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线CD与平面CEF所成角的正弦值；
（2）因为DM⊥平面CEF，所以∥，从而可求M的坐标．
【解析】
（1）由题意，得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），D（0，0，2），E（0，0，1），F（1，0，1），=（0，-4，1），=（1，-4，1）．
设平面CEF的一个法向量为=（x，y，z）．则
•=0，即-4y+z=0，•=0，x-4y+z=0．
所以x=0，z=4y．
取y=1，则z=4，所以=（0，1，4）．
设直线CD与平面CEF所成角为θ，
又=（0，-4，2），则sinθ=|cos＜，＞|==．
所以直线CD与平面CEF所成角的正弦值为．
（2）设M（x，y，0），则=（x，y，-2）．
因为DM⊥平面CEF，所以∥，所以x=0，=，即y=-．
所以M（0，-，0）．