Question

已知数列{a_n}，a₁=a（a＞0，a≠1），a_n=a•a_n-1（n≥2），定义b_n=a_n•lga_n，如果b_n是递增数列，求实数a的取值范围．

Answer

由数列{an}，a1=a（a＞0，a≠1），an=a•an-1（n≥2），我们易得数列{an}的通项公式，进而给出数列{bn}的通项公式，结合bn是递增数列，我们对a的分a＞1和0＜a＜1两种情况进行讨论，即可求出满足条件的实数a的取值范围．
【解析】
∵a1=a（a＞0，a≠1），an=a•an-1（n≥2），
则，
∴an=a•an-1=an
bn=an•lgan=nanlga，
∵bn是递增数列，
∴对任意n∈N*，bn+1＞bn恒成立．
即（n+1）an+1lga＞nanlga，对n∈N*恒成立．
（1）当a＞1时，lga＞0，
∴（n+1）an+1lga＞nanlga⇔（n+1）a＞n，
则
∵，
∴恒成立．
∴a＞1

（2）当0＜a＜1时，lga＜0，
∴（n+1）an+1lga＞nanlga⇔（n+1）a＜n，
则
∵当n∈N*时，，
∴
综上实数a的取值范围：