(1)由题意知S1=-a1-1+2=a1,,所以2nan=2n-1an-1+1,bn=bn-1+1,再由b1=2a1=1,知数列bn是首项和公差均为1的等差数列.于是bn=1+(n-1)•1=n=2nan,所以
(2),,利用错位相减求和法可知,于是确定Tn与的大小关系等价于比较2n与2n+1的大小.猜想当n=1,2时,2n<2n+1,当n≥3时,2n>2n+1.然后用数学归纳法证明.
【解析】
(1)在中,令n=1,可得S1=-a1-1+2=a1,即
当n≥2时,
所以
所以,即2nan=2n-1an-1+1
因为bn=2nan,所以bn=bn-1+1,即当n≥2时,bn-bn-1=1
又b1=2a1=1,所以数列bn是首项和公差均为1的等差数列
于是bn=1+(n-1)•1=n=2nan,所以
(2)由1)得
所以①②
由①-②得
所以
于是确定Tn与的大小关系等价于比较2n与2n+1的大小.
猜想当n=1,2时,2n<2n+1,当n≥3时,2n>2n+1
下面用数学归纳法证明:
当n=3时,显然成立
假设当n=k(k≥3)时,2k>2k+1成立
则当n=k+1时,2k+1=2•2k>2(2k+1)=4k+2=2(k+1)+1+(2k-1)>2(k+1)+1
所以当n=k+1时,猜想也成立.
于是,当n≥3,n∈N*时,2n>2n+1成立
综上所述,当n=1,2时,,
当n≥3时,