Question

已知f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1．
（1）求f（8）的值；      
（2）求不等式f（x）＞3+f（x-2）的解集．

Answer

（1）令x=y=2，可求得f（4），继而可求得f（8）的值；
（2）由（1）f（8）=3，可求得f（x）＞3+f（x-2）⇔f（x）＞f（8x-16），利用f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数即可求得答案．
【解析】
（1）由题意得f（8）=f（4×2）
=f（4）+f（2）
=f（2×2）+f（2）
=f（2）+f（2）+f（2）
=3f（2），
又∵f（2）=1，
∴f（8）=3…（6分）
（2）不等式化为f（x）＞f（x-2）+3
∵f（8）=3，
∴f（x）＞f（x-2）+f（8）=f（8x-16）…（8分）
∵f（x）是（0，+∞）上的增函数
∴解得2＜x＜．
∴不等式f（x）＞3+f（x-2）的解集为{x|2＜x＜}…（12分）