(1)由f(x)是定义在R上的奇函数,知,故b=1,,,由此能求出a=b=1.
(2),f(x)在R上是减函数.证明:设x1,x2∈R且x1<x2,=-,由此能够证明f(x)在R上是减函数.
(3)不等式f(t-2t2)+f(-k)>0,等价于f(t-2t2)>f(k),由f(x)是R上的减函数,知t-2t2<k,由此能求出实数k的取值范围.
【解析】
(1)∵f(x)是定义在R上的奇函数,
∴,
解得b=1,(1分)
∴,
∴
∴a•2x+1=a+2x,即a(2x-1)=2x-1对一切实数x都成立,
∴a=1,
故a=b=1.(3分)
(2)∵a=b=1,
∴,
f(x)在R上是减函数.(4分)
证明:设x1,x2∈R且x1<x2
则
=-,
∵x1<x2,
∴,,,
∴f(x1)-f(x2)>0
即f(x1)>f(x2),
∴f(x)在R上是减函数,(8分)
(3)∵不等式f(t-2t2)+f(-k)>0,
∴f(t-2t2)>-f(-k),
∴f(t-2t2)>f(k),
∵f(x)是R上的减函数,
∴t-2t2<k(10分)
∴对t∈R恒成立,
∴.(12分)