Question

设二次函数 y=f（x）=ax²+bx+c的图象以y轴为对称轴，已知a+b=1，而且若点（x，y）在 y=f（x）的图象上，则点（x，y²+1）在函数 g（x）=f[f（x）]的图象上．
（1）求g（x）的解析式；
（2）设F（x）=g（x）-λf（x），问是否存在这样的l（λ∈R），使f（x）在内是减函数，在（，0）内是增函数．

Answer

（1）根据二次函数 f（x）=ax2+bx+c的图象以y轴为对称轴，得到b=0，，又a+b=1，求得a=1，再根据点（x，y）在 y=f（x）的图象上，则点（x，y2+1）在函数 g（x）=f[f（x）]的图象上，代入，即可求得c的值，从而求得函数g（x）的解析式；
（2）根据（1）的结果，假设存在λ满足题意，即说明是函数的一个极小值点，求导，即是导函数的一个零点，解方程即可求得λ的值，注意验证．
【解析】
（1）∵二次函数 f（x）=ax2+bx+c的图象以y轴为对称轴，
∴b=0，又∵a+b=1，∴a=1，
∴f（x）=x2+c，
∵点（x，y）在 y=f（x）的图象上，则点（x，y2+1）在函数 g（x）=f[f（x）]的图象上，
∴y2+1=（x+c）2+c，即（x2+c）2+1=（x+c）2+c，
c=1，
∴f（x）=x2+1；g（x）=（x2+1）2+1；
（2）假设存在λ，使得F（x）在（内是减函数，在（，0）内是增函数，
而是函数的一个极小值点，F（x）=（x2+1）2+1-λ（x2+1），
F′（x）=4x（x2+1）-2λx，∴F（）=0，解得λ=3，
经检验知λ=3复合题意，
故λ=3．