Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，过A₁、C₁、B三点的平面截去长方体的一个角后．得到如图所示的几何体ABCD-A₁C₁D₁，且这个几何体的体积为．
（1）求A₁A的长；
（2）在线段BC₁上是否存在点P，使直线A₁P与C₁D垂直，如果存在，求线段A₁P的长，如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）利用体积转化，求A1A的长；
（2）在平面CC1D1D中作D1Q⊥C1D交CC1于Q，过Q作QP∥CB交BC1于点P，推出A1P⊥C1D，证明A1P⊥C1D，推出△D1C1Q∽Rt△C1CD，再求求线段A1P的长．
【解析】
（1）∵
=，∴AA1=4．（5分）
（2）在平面CC1D1D中作D1Q⊥C1D交CC1于Q，
过Q作QP∥CB交BC1于点P，则A1P⊥C1D．（7分）
因为A1D1⊥平面CC1D1D，C1D⊂平面CC1D1D，
∴C1D⊥A1D1，而QP∥CB，CB∥A1D1，∴QP∥A1D1，
又∵A1D1∩D1Q=D1，∴C1D⊥平面A1PQC1，
且A1P⊂平面A1PQC1，∴A1P⊥C1D．（10分）
∵△D1C1Q∽Rt△C1CD，
∴，∴
，∴．
∵四边形A1PQD1为直角梯形，且高，
∴．（14分）