Question

已知数列{a_n}满足：，
（1）求证数列为等差数列；
（2）求数列{a_n}的前n项的和S_n；
（3）令为数列{b_n}的前n项的积，求证：．

Answer

（1）在等式an+1=2an+2n+2的两边同除以2n，利用等差数列的定义得到证明，
（2）利用对称数列的通项公式求出，进一步求出数列{an}的通项公式．由于通项是一个等差数列与一个等比数列的积构成的新数列，利用错位相减法求出数列的前n项和．
（3））由于，可得．利用放缩法即可证得结论．
【解析】
（1），
∴是公差为2，首项为的等差数列
（2）由（1）知：，∴，
故①
①×2得：②
②-①得：
∴
（3）∵
∴
∵（2n）2＞（2n）2-1=（2n+1）（2n-1）
∴
∴
∴，
∴．