Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c．
（1）若f（-1）=0，试判断函数f（x）零点个数；
（2）若对∀x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，f（x₁）≠f（x₂），试证明∃x∈（x₁，x₂），使成立．
（3）是否存在a，b，c∈R，使f（x）同时满足以下条件①对∀x∈R，f（x-4）=f（2-x），且f（x）≥0；②对∀x∈R，都有．若存在，求出a，b，c的值，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）将x=-1代入得到关于a、b、c的关系式，再由△确定零点个数．
（2）令g（x）=f（x）-，再由函数零点的判定定理可证．
（3）假设存在a，b，c∈R使得条件成立，由①可知函数f（x）的对称轴是x=-1，且最小值为0，由此可知a=c；由②知将x=1代入可求的a=c=，b=，最后验证即可．
解析：（1）∵f（-1）=0，
∴a-b+c=0，b=a+c
∵△=b2-4ac=（a+c）2-4ac=（a-c）2
当a=c时△=0，函数f（x）有一个零点；
当a≠c时，△＞0，函数f（x）有两个零点．
（2）令，则，
∴
∴g（x）=0在（x1，x2）内必有一个实根．即∃x∈（x1，x2），使成立．
（3）假设a，b，c存在，由①知抛物线的对称轴为x=-1，且f（x）min=0
∴⇒b=2a，b2=4ac⇒4a2=4ac⇒a=c
由②知对∀x∈R，都有
令x=1得0≤f（1）-1≤0⇒f（1）-1=0⇒f（1）=1⇒a+b+c=1
由得，
当时，，其顶点为（-1，0）满足条件①，又⇒对∀x∈R，都有，满足条件②．
∴存在a，b，c∈R，使f（x）同时满足条件①、②．