Question

已知函数f（x）=2x²-3x+1，g（x）=ksin（x-），（k≠0）．
（1）问α去何值时，方程f（sinx）=α-sinx在[0，2π]上有两解；
（2）若对任意的x₁∈[0，3]，总存在x₂∈[0，3]，使f（x₁）=g（x₂）成立，求实数k的取值范围？

Answer

（1）2sin2x-3sinx+1=a-sinx化为2sin2x-2sinx+1=a在[0，2π]上有两解令t=sinx则2t2-2t+1=a在[-1，1]上解的情况可结合两函数图象的交点情况讨论；
（2）据题意有f（x1）的值域是g（x2）值域的子集，先求f（x1）值域，然后分类讨论，求出g（x2）值域，建立关于k的不等式，可求k的范围．
【解析】
（1）2sin2x-3sinx+1=a-sinx化为2sin2x-2sinx+1=a在[0，2π]上有两解
换t=sinx则2t2-2t+1=a在[-1，1]上解的情况如下：
①当在（-1，1）上只有一个解或相等解，x有两解（5-a）（1-a）＜0或△=0
∴a∈（1，5）或a=
②当t=-1时，x有惟一解
③当t=1时，x有惟一解
故a∈（1，5）或a=；
（2）当x1∈[0，3]时，f（x1）值域为[]，
当x2∈[0，3]时，x2-∈[-，3-]，有sin（x2-）∈[-，1]
①当k＞0时，g（x2）值域为[-，k]
②当k＜0时，g（x2）值域为[k，-]
而依据题意有f（x1）的值域是g（x2）值域的子集
∴或  
∴k≥10或k≤-20．