Question

已知函数f（x）的定义域为[0，1]且同时满足：①对任意x∈[0，1]总有f（x）≥2；②f（1）=3；③若x₁≥0，x₂≥0且x₁+x₂≤1，则有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-2．
（I）求f（0）的值；
（II）求f（x）的最大值；
（III）设数列{a_n}的前n项和为S_n，且，求f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n）．

Answer

（1）令x1=x2=0，代入f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）-2，可求出f（0）的值．
（II）任取x1x2∈[0，1]，且x1＜x2，利用③证明f（x2）-f（x1））=f（x2-x1）-2≥0，即 f（x2）≥f（x1），得到f（x）≤f（1）=3．
（III）令n=1，得：a1=1，n≥2，时，由an=sn-sn-1求出通项公式，得到f（an）与f（an-1）的关系，构造一个等比数列，求出f（a1）+f（a2）+…+f（an）的值．
【解析】
（Ⅰ）令x1=x2=0，
由③知f（0）=2f（0）-2⇒f（0）=2；
（Ⅱ）任取x1x2∈[0，1]，且x1＜x2，
则0＜x2-x1≤1，∴f（x2-x1）≥2
∴f（x2）-f（x1）=f[（x2-x1）+x1]-f（x1）
=f（x2-x1）+f（x1）-2-f（x1）=f（x2-x1）-2≥0
∴f（x2）≥f（x1），则f（x）≤f（1）=3．
∴f（x）的最大值为3；
（Ⅲ）由知，
当
∴
∴
=
∴
∴
又f（a1）-2=1∴
∴