Question

等比数列{a_n}的各项均为正数，且2a₁+3a₂=1，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（3）设b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n，记数列的前n项和为T_n．若对于∀n∈N^*，恒有成立，其中m∈N^*，求m的最小值．

Answer

（1）设等比数列{an}的公比为q，依题意，列出关于首项a1与公比q的方程组，解之即可求得数列{an}的通项公式；
（2）按照比数列{an}的前n项和公式求之即可；
（3）求得数列{}的前n项和为Tn，对于∀n∈N*，恒有成立，其中m∈N*，即可求得m的最小值．
【解析】
（1）设等比数列{an}的公比为q，则，解得a1=，q=，
∴an=；
（2）∴数列{an}的前n项和Sn==（1-）；
（3）∵bn=log3a1+log3a2+…+log3an=-1-2-…-n=-，
∴=-=-2（-），
∴Tn=-2[（1-）+（-）+…+（-）]
=-2（1-）=-．
∵Tn＞恒成立，
即-＞恒成立，又m∈N*，
∴m＞2011-恒成立，
∴mmin=2011．