Question

已知F₁，F₂是椭圆的两焦点，P为椭圆上一点，若∠F₁PF₂=60°，则离心率e的范围是    ．

Answer

由题意，可设|PF1|=m，|PF2|=n． 在△PF1F2中，由余弦定理可知，4c2=m2+n2-2mncos60°．再由定义得出m+n=2a，然后进行恒等变形，将4c2=m2+n2-2mncos60°量m，n用a，c表示出来即可得出离心率的取值范围
【解析】
设椭圆方程为（a＞b＞0），|PF1|=m，|PF2|=n．
在△PF1F2中，由余弦定理可知，4c2=m2+n2-2mncos60°．
∵m+n=2a，∴m2+n2=（m+n）2-2mn=4a2-2mn，
∴4c2=4a2-3mn．即3mn=4a2-4c2．
又mn≤=a2（当且仅当m=n时取等号），
∴4a2-4c2≤3a2，∴，即e≥．
∴e的取值范围是[，1）．
故答案为