Question

三棱锥P-ABC中，三角形PAB是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90°
（Ⅰ）证明：AB⊥PC
（Ⅱ）若三角形ABC是边长为的正三角形，（1）求证：面PAC⊥面PBC；（2）求三棱锥P-ABC的体积．

Answer

（I）利用△PAB是等边三角形，证明AC=BC．取AB中点D，连接PD、CD，通过证明AB⊥平面PDC，然后证明AB⊥PC．
（II）（1）作BE⊥PC，垂足为E，连接AE，利用证得∠AEB=90°，结合平面垂直的定义即可得到面PAC⊥面PBC；（2）通过Rt△PBC≌Rt△PAC，Rt△AEB≌Rt△PEB，说明△AEB，△PEB，△CEB都是等腰直角三角形．然后求出三棱锥P-ABC的体积．
【解析】
（I）证明：因为△PAB是等边三角形，
∠PAC=∠PBC=90°，
PC=PC
所以Rt△PBC≌Rt△PAC，
可得AC=BC．
如图，取AB中点D，连接
PD、CD，
则PD⊥AB，CD⊥AB，
所以AB⊥平面PDC，
所以AB⊥PC．
（II）（1）作BE⊥PC，垂足为E，连接AE．
因为Rt△PBC≌Rt△PAC，
所以AE⊥PC，AE=BE．
在三角形ABE中，由已知，得BE=AE=2，AB=2，
故∠AEB=90°．
从而，平面PAC⊥平面PBC，
（2）因为Rt△AEB≌Rt△PEB，
所以△AEB，△PEB，△CEB都是等腰直角三角形．
由已知得PC=4，AE=BE=2，
△AEB的面积S=2．
因为PC⊥平面AEB，
所以三棱锥P-ABC的体积：
V=×S×PC=．