Question

设a＞0，方程xlnx+（a-x）ln（a-x）=0有解，则a的取值范围是（ ）
A．（0，1]
B．（0，2]
C．（1，2]
D．（1，3]

Answer

由题意构造函数f（x）=xlnx+（a-x）ln（a-x），且求出0＜x＜a，再求出f′（x）和f″（x），判断出f″（x）恒大于0，判断出f′（x）在定义域上的单调性，再求出f′（x）=0对应的x值，再求出f（x）的单调区间，求出函数f（x）的最小值，根据最小值令g（x）=lnx，再求出此函数的导数及单调性，判断出函数值的符号，再由变化趋势求出a的范围．
【解析】
由题意设f（x）=xlnx+（a-x）ln（a-x），且0＜x＜a，
则原题可转化为f（x）=0在（0，a）有解，求a的范围，
∴f′（x）=1+lnx-1-ln（a-x）=lnx-ln（a-x）
则f″（x）==，
由题意得0＜x＜a，又∵a＞0，∴f″（x）恒大于0，
∴f′（x）在（0，a）为增函数，
令f′（x）=0，得x=，则0＜＜a，
∴f′（x）在（0，）恒小于零，在（，a）恒大于零，
则f（x）在（0，）递减，在（，a）递增
要使f（x）在（0，a）有解，
则f（x）的最小值：f（）=ln+（a-）ln（a-）=aln（）≤0，
设g（x）=lnx，x＞0，
且=0，得x=，
∴g（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，
∵当x趋向于零时，g（x）=lnx＜0，最小值g（）＜0，
且g（1）=ln1=0，此时a=2，
又由a＞0，解得a的范围为（0，2]，
故选B．