Question

设函数f（x）=lnx-p（x-1），p∈R．
（1）当p=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）设函数g（x）=xf（x）+P（2x²-x-1），对任意x≥1都有g（x）≤0成立，求P的取值范围．

Answer

（1）求导函数，利用导数大于0，求函数的单调增区间，导数小于0，求函数的单调减区间；
（2）对于任意实数x≥1，g（x）≤0恒成立，等价于xlnx+p（x2-1）≤0，设g（x）=xlnx+p（x2-1），由于g（1）=0，故只须g（x）=xlnx+p（x2-1）在x≥1时是减函数，再分离参数p，问题转化为求函数的最小值．
【解析】
（1）当p=1时，f（x）=ln x-（x-1），f′（x）=-1，
令f′（x）＞0，∴x∈（0，1），
故函数f（x）的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）；
令f′（x）＜0，得x∈（1，+∞），故函数f（x）的单调减区间为（1，+∞）；
（2）由题意函数g（x）=xf（x）+p（2x2-x-1）=xlnx+p（x2-1），
则xlnx+p（x2-1）≤0，
设g（x）=xlnx+p（x2-1），由于g（1）=0，
故只须g（x）=xlnx+p（x2-1）在x≥1时是减函数即可，
又因为g′（x）=lnx+2px+1，故lnx+2px+1≤0在x≥1时恒成立，
即p在x≥1时恒成立，
由于时，x=1，得 当x=1时，取最小值-，
∴p≤-．