(Ⅰ)由题意及所给的图形,可以A为原点,,,的方向为X轴,Y轴,Z轴的正方向建立空间直角坐标系,设AB=a,给出图形中各点的坐标,可求出向量与的坐标,验证其数量积为0即可证出两线段垂直.
(II)由题意,可先假设在棱AA1上存在一点P(0,0,t),使得DP∥平面B1AE,求出平面B1AE法向量,可法向量与直线DP的方向向量内积为0,由此方程解出t的值,若能解出,则说明存在,若不存在符合条件的t的值,说明不存在这样的点P满足题意.
(III)由题设条件,可求面夹二面角的两个平面的法向量,利用两平面的夹角为30°建立关于a的方程,解出a的值即可得出AB的长
【解析】
(I)以A为原点,,,的方向为X轴,Y轴,Z轴的正方向建立空间直角坐标系,如图,
设AB=a,则A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),E(,1,0),B1(a,0,1)
故=(0,1,1),=(-,1,-1),=(a,0,1),=(,1,0),
∵•=1-1=0
∴B1E⊥AD1;
(II)假设在棱AA1上存在一点P(0,0,t),使得DP∥平面B1AE.此时=(0,-1,t).
又设平面B1AE的法向量=(x,y,z).
∵⊥平面B1AE,∴⊥B1A,⊥AE,得,取x=1,得平面B1AE的一个法向量=(1,-,-a).
要使DP∥平面B1AE,只要⊥,即有•=0,有此得-at=0,解得t=,即P(0,0,),
又DP⊈平面B1AE,
∴存在点P,满足DP∥平面B1AE,此时AP=
(III)连接A1D,B1C,由长方体ABCD-A1B1C1D1及AA1=AD=1,得AD1⊥A1D.
∵B1C∥A1D,∴AD1⊥B1C.
由(I)知,B1E⊥AD1,且B1C∩B1E=B1.
∴AD1⊥平面DCB1A1,
∴AD1是平面B1A1E的一个法向量,此时=(0,1,1).
设与所成的角为θ,则cosθ==
∵二面角A-B1E-A1的大小为30°,
∴|cosθ|=cos30°=即=,解得a=2,即AB的长为2