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已知数列{an}的相邻两项an,an+1是关于x的方程的两实根,且a1=1. (...

已知数列{an}的相邻两项an,an+1是关于x的方程manfen5.com 满分网的两实根,且a1=1.
(Ⅰ)求证:数列manfen5.com 满分网是等比数列;
(Ⅱ)Sn是数列{an}的前n项的和.问是否存在常数λ,使得bn>λSn对∀n∈N*都成立,若存在,求出λ的取值范围,若不存在,请说明理由.
(Ⅰ)利用韦达定理,结合等比数列的定义,即可证明数列是等比数列; (Ⅱ)分别求出bn、Sn,从而可得不等式,分类讨论,即可求出λ的取值范围. (Ⅰ)证明:∵an,an+1是关于x的方程的两实根, ∴…(2分) ∵. 故数列是首项为,公比为-1的等比数列.…(4分) (Ⅱ)【解析】 由(Ⅰ)得,即 ∴ =.…(8分) 因此, 要使bn>λSn,对∀n∈N*都成立, 即(*) …(10分) ①当n为正奇数时,由(*)式得: 即, ∵2n+1-1>0,∴对任意正奇数n都成立, 因为为奇数)的最小值为1.所以λ<1.…(12分) ②当n为正偶数时,由(*)式得:,即 ∵2n-1>0,∴对任意正偶数n都成立, ∵为偶数)的最小值为,∴. ∴存在常数λ,使得bn>λSn对∀n∈N*都成立时λ的取值范围为(-∞,1).…(14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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