Question

已知函数（x∈R），且．
（1）判断函数y=f（x）在R上的单调性，并给出证明；
（2）若f（2×3^x-2）＞f（7-3^x），求x的取值范围．

Answer

（1）由求出m值，再将函数整理后得到函数为，用定义法来判断函数的单调性；
（2）借助于函数的单调性，得到2×3x-2＞7-3x整理后，解出即可．
【解析】
（1）由已知得，m3=8，∴m=2…（3分）
∴==
任取x1，x2∈R，且x1＜x2…（4分）
则…（6分）
==…（8分）
∵，∴
又∵x2＞x1，∴，∴…（10分）
∴，
即f（x2）-f（x1）＞0，f（x2）＞f（x1）
∴函数y=f（x）在R上为单调增函数．                       …（12分）
（2）∵f（2×3x-2）＞f（7-3x），
由（1）知函数y=f（x）在R上为单调增函数，
∴2×3x-2＞7-3x，…（14分）
化简得3x＞3，…（15分）
∴x＞1，∴不等式f（2×3x-2）＞f（7-3x）的解集为（1，+∞）．   …（16分）