Question

定义在R上的函数f（x）满足：对任意实数m，n，总有f（m+n）=f（m）•f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1．
（1）试求f（0）的值；
（2）判断f（x）的单调性并证明你的结论；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）-f（k-2t²）＜0恒成立，求k的取值范围．

Answer

（1）在f（m+n）=f（m）•f（n）中令m=1，n=0，即可求得f（0）的值；
（2）要判断f（x）的单调性，可任取x1，x2∈R，且设x1＜x2，可证得f（x2）-f（x1）＜0，从而可判断f（x）的单调性；
（3）由（2）知，f（t2-2t）-f（k-2t2）＜0恒成立⇔k＜3t2-2t（t∈R）⇔k＜（3t2-2t）min，从而可求k的取值范围．
【解析】
（1）在f（m+n）=f（m）•f（n）中令m=1，n=0，得：f（1）=f（1）•f（0）
因为f（1）≠0，所以，f（0）=1．
（2）要判断f（x）的单调性，可任取x1，x2∈R，且设x1＜x2．
在f（m+n）=f（m）•f（n）中取m+n=x2，m=x1，
则f（x2）=f（x1）•f（x2-x1），
∵x2-x1＞0，
∴0＜f（x2-x1）＜1
为比较f（x2），f（x1）的大小，只需考虑fx1（ ）的正负即可．
在在f（m+n）=f（m）•f（n）中令m=x，n=-x，则得f（x）-f（-x）=1．
∵x＞0时0＜f（x）＜1，
∴当x＜0时，f（x）=＞1＞0．
又f（0）=1，所以，综上，可知，对于任意x1∈R，均有f（x1）＞0．
∴f（x2）-f（x1）=f（x1）[f（x2-x1）-1]＜0．
∴函数f（x）在R上单调递减．
（3）不等式即f（t2-2t）＜f（k-2t2），
由（2）知函数f（x）在R上单调递减，
∴t2-2t＞k-2t2，
∴k＜3t2-2t，其中t∈R．
∴k＜（3t2-2t）min，而3t2-2t=3-≤，
∴k＜-，即k的取值范围是（-∞，-）．