Question

三棱锥P-ABC中，△ABC是底面，PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC，且这四个顶点都在半径为2的球面上，PA=2PB，则这个三棱锥的三个侧棱长的和的最大值为（ ）
A．16
B．
C．
D．32

Answer

由已知，三棱锥P-ABC的四个顶点均在半径为2的球面上，且PA，PB，PC两两垂直，球直径等于以PA，PB，PC为棱的长方体的对角线，得到5PB2+PC2=16，再结合三角换元法，由三角函数的性质得到这个三棱锥的三个侧棱长的和的最大值．
【解析】
∵PA，PB，PC两两垂直，
又∵三棱锥P-ABC的四个顶点均在半径为2的球面上，
∴以PA，PB，PC为棱的长方体的对角线即为球的一条直径．
∴16=PA2+PB2+PC2，又PA=2PB，∴5PB2+PC2=16，
设PB=，PC=4sinα，
则这个三棱锥的三个侧棱长的和PA+PB+PC=3PB+PC=cosα+4sinα=sin（α+∅）≤．
则这个三棱锥的三个侧棱长的和的最大值为，
故选B．