①利用二面角的大小区判断.②利用线面角的定义去判断.③利用异面直线的概念去判断.④利用二面角的大小进行判断.
【解析】
①设底面正三角形的边长为1,过B作BD⊥PA,连结CD,则∠BDC是二面角B-PA-C大小,因为底面三角形ABC是正三角形,所以∠CAB=,所以当点P无限靠近点O时,即高无限小时,∠BDC接近,所以二面角B-PA-C大小的取值范围是(,π),所以①正确.
②因为CM=2PM,CN=2NB,所以MN∥PB.若MN⊥AM,则PB⊥AM,因为P-ABC是正三棱锥,所以P在底面的射影是底面的中心,所以PB⊥AC,因为AM∩AC=A,所以PB⊥面PAC,因为P-ABC是正三棱锥,所以必有PC⊥面PAB,所以PC与平面PAB所成角的大小为,所以②正确.
③因为因为P-ABC是正三棱锥,所以P在底面的射影是底面的中心,所以PA⊥BC.所以过点M与异面直线PA和BC都成的直线有两条,所以③错误.
④若二面角B-PA-C大小为,则∠BDC=,此时∠EDC=,(其中E是BC的中点),,所以此时直线BC与平面PAC和平面PAB都成,又因为平面PAC和平面PAB的法向量的夹角为,此时适当调整过N的直线,可以得到两条直线使得过点N与平面PAC和平面PAB都成,所以满足过点N与平面PAC和平面PAB都成的直线有3条. 所以④正确.
故答案为:①②④.