解法一:(1)取BC中点H,连结FH,EH,证明∠FEH为直线EF与平面ABCD所成角,即可得出结论;
(2)取A1C中点O,连接OF,OA,则∠AOA1为异面直线A1C与EF所成角,由余弦定理,可得结论;
解法二:设正方体棱长为2,以B为原点,BC为x轴,BA为y轴,BB1为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量的夹角公式,即可求出结论.
解法一:(1)取BC中点H,连结FH,EH,设正方体棱长为2.
∵F为BCC1B1中心,E为AB中点.
∴FH⊥平面ABCD,FH=1,EH=.
∴∠FEH为直线EF与平面ABCD所成角,且FH⊥EH.
∴tan∠FEH===.…(6分)
(2)取A1C中点O,连接OF,OA,则OF∥AE,且OF=AE.
∴四边形AEFO为平行四边形.∴AO∥EF.
∴∠AOA1为异面直线A1C与EF所成角.
∵A1A=2,AO=A1O=.
∴△AOA1中,由余弦定理得cos∠A1OA=.…(12分)
解法二:设正方体棱长为2,以B为原点,BC为x轴,BA为y轴,BB1为z轴,建立空间直角坐标系.则B(0,0,0),B1(0,0,2),E(0,1,0),F(1,0,1),C(2,0,0),A1(0,2,2).
(1)=(1,-1,1),=(0,0,2),且为平面ABCD的法向量.
∴cos<,>=.
设直线EF与平面ABCD所成角大小为θ.
∴sinθ=,从而tanθ=.…(6分)
(2)∵=(2,-2,-2),∴cos<,>=.
∴异面直线A1C与EF所成角的余弦值为.…(12分)