Question

如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，且AB=AD，BC=DC．
（1）求证：BD∥平面EFGH；
（2）求证：四边形EFGH是矩形．

Answer

（1）E，H分别为AB，DA的中点，可得EH∥BD，又BD⊄平面EFGH，EH⊂平面EFGH，根据直线和平面平行的判定定理证得BD∥平面EFGH．…
（2）取BD中点O，由条件利用等腰三角形的性质证得AO⊥BD，CO⊥BD．从而证得BD⊥平面AOC，BD⊥AC． 利用三角形的中位线的性质证得四边形EFGH是
平行四边形，再利用平行线的性质证得EF⊥EH，可得四边形EFGH为矩形．
证明：（1）∵E，H分别为AB，DA的中点，
∴EH∥BD，又BD⊄平面EFGH，EH⊂平面EFGH，
∴BD∥平面EFGH．…（4分）
（2）取BD中点O，连续OA，OC，∵AB=AD，BC=DC．∴AO⊥BD，CO⊥BD．
又AO∩CO=0．∴BD⊥平面AOC，∴BD⊥AC．   …（7分）
∵E，F，G，H为AB，BC，CD，DA的中点．
∴EH∥BD，且EH=BD；FG∥BD，且FG=BD，EF∥AC．
∴EH∥FG，且EH=FG，∴四边形EFGH是平行四边形．…（10分）
由AC⊥BD、EF∥AC、EH∥BD，∴EF⊥EH，∴四边形EFGH为矩形．    …（12分）