Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=AC=AA₁=，BC=4，在A₁在底面ABC的投影是线段BC的中点O．
（1）求点C到平面A₁ABB₁的距离；
（2）求二面角A-BC₁-B₁的余弦值；
（3）若M，N分别为直线AA₁，B₁C上动点，求MN的最小值．

Answer

（1）利用点到平面的距离公式求距离．
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的大小．
（3）利用向量法求线段的长度．
【解析】
（1）连接AO，因为A1O⊥平面ABC，所以A1O⊥BC，因为AB=AC，OB=OC，
得AO⊥BC，，在△AOA1中，A1O=2，
在△BOA1中，，则．又S△CAB=2．
设点C到平面A1ABB1的距离为h，
则由得，=．从而．…（4分）
（2）如图所示，分别以OA，OB，OA1所在的直线 为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则A（1，0，0），C（0，-2，0），A1（0.0，2），B（0，2，0），B1（-1，2，2），C1（-1，-2，2）．
设平面BCC1B1的法向量，
又，．
由，得，
令z=1，得x=2，y=0，即．
设平面ABC1的法向量，又，．
由，得，令b=1，得a=2，c=3，即．
所以，…（7分）
由图形观察可知，二面角A-BC1-B1为钝角，
所以二面角A-BC1-B1的余弦值是．…（9分）
（3）方法1．在△AOA1中，作OE⊥AA1于点E，因为AA1∥BB1，得OE⊥BB1．
因为A1O⊥平面ABC，所以A1O⊥BC，因为AB=AC，OB=OC，
得AO⊥BC，所以BC⊥平面AA1O，所以BC⊥OE，
所以OE⊥平面BB1C1C．从而OE⊥B1C
在△AOA1中，为异面直线AA1，B1C的距离，即为MN的最小值．…（14分）
方法2．设向量，且
∵，．
∴．
令z1=1，得x1=2，y1=0，即．
∵．
所以异面直线AA1，B1C的距离，即为MN的最小值．…（14分）