Question

已知椭圆Γ：+=1（a＞b＞0）的离心率为，半焦距为c（c＞0），且a-c=1．经过椭圆的左焦点F，斜率为k₁（k₁≠0）的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；
（Ⅱ）当k₁=1时，求S_△AOB的值；
（Ⅲ）设R（1，0），延长AR，BR分别与椭圆交于C，D两点，直线CD的斜率为k₂，求证：为定值．

Answer

（Ⅰ）由题意，得，解得，由此能求出椭圆Γ的方程．
（Ⅱ）由（Ⅰ），知F（-2，0），故直线AB的方程为y=x+2，由，得14x2+36x-9=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-，x1x2=-，由此能求出S△AOB．
（Ⅲ）设C（x3，y3），D（x4，y4），由直线AR的方程为y=（x-1），由，得y2+y-4=0．由此能为定值．
【解析】
（Ⅰ）由题意，得解得
∴b2=a2-c2=5，
故椭圆Γ的方程为+=1．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），知F（-2，0），∴直线AB的方程为y=x+2，
由消去y并整理，得14x2+36x-9=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-，x1x2=-，
∴|AB|=|x1-x2|=•=．
设O点到直线AB的距离为d，则d==．
∴S△AOB=|AB|•d=××=．…（8分）
（Ⅲ）设C（x3，y3），D（x4，y4），
由已知，直线AR的方程为y=（x-1），即x=y+1．
由消去x并整理，得y2+y-4=0．
则y1y3=-，∵y1≠0，∴y3=，
∴x3=y3+1=•+1=．
∴C（，）．同理D（，）．
∴k2==
=．
∵y1=k1（x1+2），y2=k1（x2+2），
∴k2===
∴=为定值．…（14分）