Question

已知等比数列{a_n}的各项都是正数，S_n=80，S_2n=6560，且在前n项中，最大的项为54，求n的值．

Answer

先根据Sn和S2n的值判断q≠1，再利用求和公式根据Sn和S2n的值求出qn=81进而推断q＞1，断定数列为递增数列，即最大一项是an，进而求出a1和q的关系式代入Sn=80即可求出n．
【解析】
由已知an＞0，得q＞0，若q=1，则有Sn=na1=80，S2n=2na1=160与S2n=6560矛盾，故q≠1．
∵，由（2）÷（1）得qn=81（3）．
∴q＞1，此数列为一递增数列，在前n项中，最大一项是an，即an=54．
又an=a1qn-1=qn=54，且qn=81，∴a1=q．即a1=q．
将a1=q代入（1）得q（1-qn）=80（1-q），即q（1-81）=80（1-q），解得q=3．又qn=81，∴n=4．