Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c满足f（1）=0．
（I）若a＞b＞c，证明f（x）的图象与x轴有两个交点，且这两个交点间的距离d满足：＜d＜3；
（Ⅱ）设f（x）在x=（t＞0，t≠1）处取得最小值，且对任意实数x，等式f（x）g（x）+a_nx+b_n=xⁿ⁺¹（其中n∈N，g（x）=x²+x+1）都成立，若数列{c_n}的前n项和为b_n，求{c_n}的通项公式．

Answer

（1）由f（1）=0结合a＞b＞c，得到a为正数且c为负数，得到b2-4ac＞0，f（x）的图象与x轴有两个交点．由x=1是f（x）=0的一个根，结合根与系数的关系，得到另一个根是，从而得到．再由不等式的性质加以讨论，即可得到，从而得到＜d＜3成立；
（2）由二次函数图象的对称性，结合题意得到an+bn=1且，两式联解可得，根据数列的通项与前n和的关系式算出，再检验n=1时，c1=b1=-t也符合．由此可得{cn}的通项公式．
【解析】
（I）∵f（1）=0，∴a+b+c=0．
∴结合a＞b＞c，可得a＞0，c＞0．
因此ac＜0，得b2-4ac＞0…（1分）
即f（x）的图象与x轴有两个交点．
∵f（1）=0，得x=1是f（x）=0的一个根．
∴由根与系数的关系可知f（x）=0的另一个根是，可得．
∵，且a＞b＞c，b=-a-c，
∴a＞b=-a-c＞c．
由此可得，即，．
∴两个交点间的距离d满足：．…（3分）
（II）∵f（x）在处取得最小值，∴是f（x）的对称轴方程．
由f（x）图象的对称性及f（1）=0可知f（t）=0．  …（5分）
令x=1，得an+bn=1…①；
再令x=t，得…②
由①、②联解，可得．…（7分）
∴n＞1时，．
又∵n=1时，，也符合
∴{cn}是首项为c1=-t，公比为q=t的等比数列，且{cn}的通项公式． …（8分）