Question

已知a、b为常数，且a≠0，函数f（x）=，且f（3）=1，又方程f（x）=x有唯一解．
（I）求f（x）的解析式及方程f（x）=x的解；
（Ⅱ）当x_n=f（x_n-1）（n＞1），数列是何数列？请说明理由．

Answer

（I）将方程f（x）=x进行等价变形，利用根的判别式△═0，解得b=1．再由f（3）=1，解出，可得
f（x）的解析式，进而求出方程f（x）=x的解；
（II）由（I）的解析式，得xn=f（xn-1）即，变形整理得（n＞1）．由此可得
构成公差为的等差数列．
【解析】
（I）∵f（x）=x有唯一解，即有唯一解
∴有，即
满足△=（b-1）2-4a•0=0，解之得b=1．  …（2分）
又∵f（3）=1，得3=3a+1．
∴可得．…（3分）
由，解得方程f（x）=x的解为x=0． …（4分）
（II）由xn=f（xn-1）（n＞1），得
，可得…（6分）
∴（n＞1）．
即当n＞1时，构成公差为的等差数列．  …（8分）