Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点D是BC的中点．
（Ⅰ）求证：AD⊥平面BCC₁B₁； 
（Ⅱ）求证：A₁C∥平面AB₁D．

Answer

（1）根据正棱柱的性质，得到CC1⊥平面ABC，得CC1⊥AD，正三角形ABC中利用“三线合一”证出AD⊥BC，利用线面垂直判定定理即可证出AD⊥面BCC1B1．
（2）连结A1B，交AB1于E，连接DE，△A1BC中利用中位线定理证出DE∥A1C，利用线面平行判定定理即可证出
A1C∥平面AB1D．
证明：（1）∵棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱
∴CC1⊥平面ABC，
又∵AD⊂平面ABC，∴CC1⊥AD
又∵正三角形ABC中，D是BC的中点．
∴AD⊥BC
∵BC∩CC1=C，∴AD⊥面BCC1B1．
（2）连结A1B，交AB1于E，连接DE，
∵D为BC的中点，E是A1B的中点，
∴DE∥A1C且DE=A1C
又∵A1C⊄平面AB1D，DE⊂平面AB1D．
∴A1C∥平面AB1D．