Question

已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，外接圆半径是1，且满足条件2（sin²A-sin²C）=（sinA-sinB）b，则△ABC的面积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer

由正弦定理结合R=1，化简已知等式得到a2+b2-c2=ab，利用余弦定理算出cosC=，从而可得C=60°．再利用基本不等式求出ab≤3，用正弦定理的面积公式即可算出△ABC的面积的最大值．
【解析】
由正弦定理，可得b=2RsinB=2sinB，
代入已知等式得 2sin2A-2sin2C=2sinAsinB-2sin2B，
即sin2A+sin2B-sin2C=sinAsinB，
∴a2+b2-c2=ab，
由此可得cosC==，
结合C∈（0°，180°），得C=60°．
∵ab=a2+b2-c2=a2+b2-（2RsinC）2=a2+b2-3≥2ab-3，
∴ab≤3 （当且仅当a=b时，取等号），
∵△ABC面积为S=absinC≤×3×=，
∴当且仅当a=b=时，△ABC的面积的最大值为
故选：C