Question

已f（x）=x+bg（x）=m+1，且函数f（x）在x=处取得极值．
（I）求f（x）的解析式与单调区间；
（Ⅱ）是否存在实数m，对任意的x₁∈[-1，2]，都存在x∈[0，1]，使得g（x）=3f（x₁）成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer

（I）已知f（x）的解析式，对f（x）进行求导，根据函数f（x）在处取得极值可得f′（）=0，f（）=，可以得到f（x）的解析式，然后利用导数求f（x）的单调区间；
（II）假设存在，则由（I）已知f（x）的单调区间，当x1∈[-1，2]，可以求出f（x）的值域，进而求出3f（x）的范围，对于g（x）进行求导发现其为增函数，从而求出g（x）在[0，1]上的最值，然后进行判断；
【解析】
（I），得a=-1，
且，b=0，则 
；
；
∴； 
递减区间为

（ II）由（1）得

   x -1 （-1，） （，） （，2） 2
f′（x） + - +
f（x） 增 减 增

所以当x1∈[1，2]时，≤f（x1）≤，≤3f（x1）≤…（10分）
假设对任意的x1∈[-1，2]时都存在x∈[0，1]时使得g（x）=3f（x1）成立，
设g（x）的最大值为T，最小值为t，则要求，
又g'（x）=x2+m2，所以当x∈[0，1]时时，
且，．
综上，；