Question

已知等差数列{a_n}中，公差d＞0，其前n项和为S_n，且满足a₂•a₄=45，a₁+a₅=14．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式及其前n项和S_n；
（Ⅱ）令b_n=（n∈N^*），若数列{c_n}满足c₁=-，c_n+1-c_n=b_n（n∈N^*）．求数列{c_n}的通项公式c_n；
（Ⅲ）求f（n）=-（n∈N^*）的最小值．

Answer

（Ⅰ）由等差数列的性质可知，a1+a5=a2+a4，结合d＞0，a2•a4=45可求a2，a4，进而可求公差d，即可求解
（Ⅱ）由（I ）可求bn=，从而可得c1=-，cn+1-cn=，利用累加法可求
（Ⅲ）结合（I）（II）可求f（n）=+，结合基本不等式可求f（n）的最小值
（本小题10分）
【解析】
（Ⅰ）因为数列{an}是等差数列，
所以a1+a5=a2+a4=14．
因为d＞0，a2•a4=45
所以解方程组可得，a2=5，a4=9．（2分）
所以a1=3，d=2．
所以an=2n+1．
因为Sn=na1+n（n-1）d，
所以Sn=n2+2n．
数列{an}的通项公式an=2n+1，前n项和公式Sn=n2+2n．（4分）
（Ⅱ）因为bn=（n∈N*），an=2n+1，
所以bn=．
因为数列{cn}满足c1=-，cn+1-cn=，
所以cn+1-cn=（-）．
cn-cn+1=（-）
…
c2-c1=（1-）
以上各式相加得：cn+1-c1=（1-）=．
因为c1=，
所以．
所以．（7分）
（Ⅲ）因为f（n）=-，bn=，cn=-，
所以f（n）=+．
因为f（n）=+=+-，
所以+-≥2-
f（n）≥-=，当且仅当=，即n=2时等号成立．
当n=2时，f（n）最小值为．（10分）