Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n+a_n=-n+1（n∈N^*）
（Ⅰ）设b_n=a_n+n，证明：数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{nb_n}的前n项和T_n；
（Ⅲ）若，d_n=，P=d₁+d₂+d₃+…+d₂₀₁₃，求不超过P的最大整数的值．

Answer

（Ⅰ）因为Sn+an=-n+1（n∈N*），当n≥2时，Sn-1+an-1=-，两式相减得出2an-an-1=-n-1，即2（an+n）=a n-1+n-1，构造出bn=b n-1（n≥2），从而数列{bn}是等比数列；
（Ⅱ） 由（Ⅰ）得nbn=．利用错位相消法求和即可
（Ⅲ）由（Ⅰ）知∴cn=n，dn====1+=1+裂项求和法求得P=
不超过P的最大整数为2013．
【解析】
（Ⅰ） 因为Sn+an=-n+1（n∈N*）
所以   ①当n=1时，2a1=-1，则a1=，…．（1分）
②当n≥2时，Sn-1+an-1=-
，…．（2分）
所以2an-an-1=-n-1，即2（an+n）=a n-1+n-1，
所以bn=b n-1（n≥2），而b1=a1+1=，…．（3分）
所以数列数列{bn}是首项为，公比为的等比数列，所以bn=（）n
（Ⅱ）  由（Ⅰ）得nbn=．
所以  ①
②…．（6分）
②-①得：…．（7分）…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）知∴cn=n…（9分）
而dn====1+=1+

…（11分）
所以，
故不超过P的最大整数为2013．…..（14分）