Question

已知函数f（x）=x²+（x≠0）．
（1）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）若f（1）=2，试判断f（x）在[2，+∞）上的单调性．

Answer

（1）利用函数奇偶性的定义进行判断，要对a进行分类讨论．（2）由f（1）=2，确定a的值，然后利用单调性的定义进行判断和证明．
【解析】
（1）当a=0时，f（x）=x2，f（-x）=f（x），函数是偶函数．…（2分）
当a≠0时，f（x）=x2+（x≠0，常数a∈R），取x=±1，得f（-1）+f（1）=2≠0；
f（-1）-f（1）=-2a≠0，
∴f （-1）≠-f （1），f （-1）≠f （1）．…（5分）
∴函数f（x）既不是奇函数也不是偶函数．…（6分）
（2）若f（1）=2，即1+a=2，解得a=1，这时f（x）=x2+．…（7分）
任取x1，x2∈[2，+∞），且x1＜x2，…（8分）
则f（x1）-f（x2）==，…（11分）
由于x1≥2，x2≥2，且x1＜x2，∴x1-x2＜0，x1+x2＞，…（12分）
所以f（x1）＜f（x2），…（13分）
故f（x）在[2，+∞）上是单调递增函数．…（14分）