Question

数列{a_n}满足s_n=2n-a_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）计算a₁，a₂，a₃，a₄，并由此猜想通项公式a_n；
（Ⅱ）用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想．

Answer

（Ⅰ）通过n=1，2，3，4，直接计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式；
（Ⅱ）直接利用数学归纳法证明．检验n取第一个值时，等式成立，假设，证明．
（本小题满分8分）
【解析】
（Ⅰ）当n=1时，a1=s1=2-a1，所以a1=1．
当n=2时，a1+a2=s2=2×2-a2，所以．
同理：，．
由此猜想…（5分）
（Ⅱ）证明：①当n=1时，左边a1=1，右边=1，结论成立．
②假设n=k（k≥1且k∈N*）时，结论成立，即，
那么n=k+1时，ak+1=sk+1-sk=2（k+1）-ak+1-2k+ak=2+ak-ak+1，
所以2ak+1=2+ak，所以，
这表明n=k+1时，结论成立．
由①②知对一切n∈N*猜想成立．…（8分）